東大理数B4 / JMOチューター / 漢検1級(R4-2)
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ALT 目次 1 行列式と偏角 1.1 行列式の定義・性質 1.2 Cramér の公式 1.3 Vandelmonde の行列式 1.4 線型性の応用 1.5 複素数の偏角 1.6 複素数の平方根 1.7 複素数の傾き 2 基本の公式 3 具体的な点の座標 3.1 外心を中心とする座標 3.2 内心を中心とする座標 3.3 弧の中点を中心とする座標 4 練習問題 4.1 複素座標で実際の問題を解くには 4.2 有名定理 4.3 数学オリンピックの過去問 5 練習問題のヒント 6 練習問題の解答
![系2.15. 円周上に$6$点$A(a)$, $B(b)$, $C(c)$, $D(d)$, $E(e)$, $F(f)$があり, $A\neq D$, $B\neq E$, $C\neq F$であるとする. $3$直線$AD$, $BE$, $CF$が共点であることは \[ \begin{vmatrix} ad&a+d&1\\ be&b+e&1\\ cf&c+f&1\\ \end{vmatrix} =0 \] と同値である. また, この式は \[ (a-b)(c-d)(e-f)+(b-c)(d-e)(f-a)=0 \] と書くことができる. ただし, $3$直線が平行である場合は無限遠点で交わると考え, 共線として扱う.](https://pbs.twimg.com/media/G0KGIeAbUAcn79k.jpg?name=orig)
ALT 系2.15. 円周上に$6$点$A(a)$, $B(b)$, $C(c)$, $D(d)$, $E(e)$, $F(f)$があり, $A\neq D$, $B\neq E$, $C\neq F$であるとする. $3$直線$AD$, $BE$, $CF$が共点であることは \[ \begin{vmatrix} ad&a+d&1\\ be&b+e&1\\ cf&c+f&1\\ \end{vmatrix} =0 \] と同値である. また, この式は \[ (a-b)(c-d)(e-f)+(b-c)(d-e)(f-a)=0 \] と書くことができる. ただし, $3$直線が平行である場合は無限遠点で交わると考え, 共線として扱う.
![命題3.14. $F(x,y,z)$, $G(x,y,z)$を$1$次の斉次有理式とする. 外心を中心とした座標で$F(a,b,c)$と表される点は, 内心を中心とする座標では \[\frac{2}{(d+e)(e+f)(f+d)}\bigl(F(e^2f^2,f^2d^2,d^2e^2)+def(d+e+f)\bigr)\] と表せる. また, 内心を中心とした座標で$G(d,e,f)$と表される点は, 外心を中心とする座標では定理\ref{thm:incenter-o}の符号の定め方のもとで \[\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{c}+\sqrt{a})}{2}G\biggl(\frac{1}{\sqrt{a}},\frac{1}{\sqrt{b}},\frac{1}{\sqrt{c}}\biggr)-(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\] と表せる.](https://pbs.twimg.com/media/G0KGNCla0AEr-ud.jpg?name=orig)
ALT 命題3.14. $F(x,y,z)$, $G(x,y,z)$を$1$次の斉次有理式とする. 外心を中心とした座標で$F(a,b,c)$と表される点は, 内心を中心とする座標では \[\frac{2}{(d+e)(e+f)(f+d)}\bigl(F(e^2f^2,f^2d^2,d^2e^2)+def(d+e+f)\bigr)\] と表せる. また, 内心を中心とした座標で$G(d,e,f)$と表される点は, 外心を中心とする座標では定理\ref{thm:incenter-o}の符号の定め方のもとで \[\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{c}+\sqrt{a})}{2}G\biggl(\frac{1}{\sqrt{a}},\frac{1}{\sqrt{b}},\frac{1}{\sqrt{c}}\biggr)-(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\] と表せる.
