広江 克彦

量子重力理論は、前世紀から多くの研究者によって探究されてきました。しかし、現在まだその完成を見ていません。特に理解が進んでいないのは、量子時空における「時間」の本性です。量子重力理論では、異なる時空の量子的な重ね合わせを考えます。すると各宇宙の中の観測者にとって、時間とは、各宇宙の宇宙の中を流れる時間のはずです。ところが重ね合わさっている、異なる時空の中の時間の流れ方は、異なる時空の形状に基づいて、全く別な流れ方になっているのです。そして、そのどの時空の時間にも他に比べて優劣はなく、そのため量子的宇宙において、特別な時間の流れは存在しないのです。宇宙の外に客観的な時間が存在していれば、それを採用すれば良いのですが、一般相対性理論の思想では、そのような宇宙の外は存在しませんし、またその外の時間もありません。 一般相対性理論を量子化する量子重力理論でも、同様です。そのため量子力学のシュレディンガー方程式を量子重力に適用してしまうと、その波動関数や方程式から、時間変数が消えてしまうのです。量子重力理論の、その時間を持たないシュレディンガー方程式は、「ウィーラー＝ドウィット方程式」と呼ばれています。 通常の波動関数は、ある特定の時刻で可能なあらゆる事象に確率を与える概念ですが、その時刻を決める時間変数が存在しないので、ウィーラー＝ドウィット方程式の波動関数には、「時刻」という概念も出てきません。すると通常の意味での、その時刻での確率解釈（ボルン則）というものも、その意味がわからなくなります。 ところが物理学における時間は、物理的な時計で測られるべきという基本に戻ると、「時計」に対応する自由度を理論に入れて、その変数で時間を定義するのが良いのではないかという考えが出てきます。その時計変数と、他の物理量の関係性に注目することで、その宇宙の中の時間を読み取るというわけです。これは現在でも多くの研究者が探究している方向性の１つです。 それでも問題は残ります。特定の物理的自由度を、時計変数と見なしても、シュレディンガー方程式とは異なり、ウィーラー＝ドウィット方程式は、時間に関して１階の微分方程式になっていません。それは、時間に関する２階の微分方程式になっています。その結果として、保存する流れの密度部分は、シュレディンガー方程式のように非負にはなれません。正の値も負の値も出てくるので、その密度を通常のように「確率密度」と解釈することができないのです。 これはちょうど、前世紀の相対論的なスカラー場の理論の探究にも出てきた欠点です。この理論のクライン＝ゴルドン方程式も、時間に関して２階の微分方程式でした。そして同じように、流れの密度を「確率密度」とみなせない問題を抱えていました。それを解決したのが、「第２量子化」です。つまりクライン＝ゴルドン方程式に出てきた場を、波動関数ではなく、古典場だと解釈し直して、それを量子化するのです。それでできたのが「場の量子論」です。同様に量子重力理論のウィーラー＝ドウィット方程式に出てくる関数も、波動関数ではなく、宇宙の形状を決めている配位空間における、古典場だと見なして、それをさらに量子化するのが「第３量子化」という理論です。 ただ、このように時間変数を決めて、第３量子化を行うには、ウィーラー＝ドウィット方程式の中の時計自由度が１つであることが要求されます。他の多数の自由度は、方程式の中で空間的なプラスの符号を持っていて、時計自由度の１つだけが、時間的なマイナスの符号を持つ必要があります。時間の流れが２つ以上あると、因果律の解釈が破綻するためです。ところが実際に、時間は１つであるという性質を、ウィーラー＝ドウィット方程式は満たしているのです。今回はそれを確認しておきましょう。🧵